Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Тригонометрия - раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Сам термин, давший название этому разделу математики, впервые был обнаружен в заголовке книги под авторством немецкого ученого-математика Питискуса в 1505 году. Слово тригонометрия имеет греческое происхождение: trigwnon - треугольник и metrew - измерять, и в буквальном переводе означает измерение треугольников. Если быть точнее, то речь идет не о буквальном измерении этой фигуры, а об её решении, то есть определении значений её неизвестных элементов с помощью известных. Т.е., тригонометрия возникла на геометрической основе, имела геометрический язык и применялась к решению геометрических задач. Развитие алгебраической символики позволило записывать тригонометрические соотношения в виде формул.

Впервые тригонометрический материал мы встретили в 8 классе при изучении темы «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника». Так мы узнали, что такое синус, косинус и тангенс, научились решать прямоугольные треугольники.

Прошло некоторое время и в 9-м классе мы снова вернулись к тригонометрии. Но эта тригонометрия не похожа на ту, что изучали ранее. Её соотношения определяются теперь с помощью окружности (единичной полуокружности), а не прямоугольного треугольника. Хотя они по-прежнему определяются как функции углов, но эти углы стали не только острые, но и тупые.

Перейдя же в 10 класс, мы снова столкнулись с тригонометрией и увидели, что она стала ещё сложнее, ввелось понятие радианная мера угла, иначе выглядят и тригонометрические тождества, и постановка задач, и трактовка их решений. Вводятся графики тригонометрических функций. Наконец, появляются тригонометрические уравнения. И весь этот материал предстал перед нами уже как часть алгебры, а не как геометрия. И нам стало очень интересно узнать, а нельзя ли формулы, которые мы изучаем на алгебре доказать геометрическими методами.

Объект исследования - тригонометрические формулы.

Предмет исследования - геометрические доказательства этих формул.

Цель исследования - изучение способов доказательства тригонометрических формул при помощи геометрии.

Задачи исследования:

Изучить учебную, научно-популярную литературу по теме.

Рассмотреть историю возникновения и развития тригонометрии.

Доказать некоторые формулы тригонометрии с помощью геометрических методов.

Провести среди учеников 10А класса опрос, выявляющий их мнение по отношению к алгебраическому и геометрическому способу доказательств тригонометрических формул.

Проанализировать доказательства формул и выявить, какие геометрические факты чаще всего использовались при доказательстве формул.

Методы исследования: изучение литературы, обработка материалов и результатов, сравнение, анализ, анкетирование (опрос), обобщение.

История развития тригонометрии

Общие сведения о тригонометрии

История тригонометрии охватывает более двух тысячелетий. Первоначально её возникновение было связано с необходимостью выяснения соотношений углов и сторон треугольника. Историки полагают, что тригонометрию создали древние астрономы, немного позднее её стали использовать в геодезии и архитектуре. Со временем область применения тригонометрии постоянно расширялась. Особенно полезными тригонометрические функции оказались при изучении колебательных процессов; на них основан также гармонический анализ функций. Томас Пейн в своей книге «Век разума» (1974) назвал тригонометрию «душой науки».

Зачатки тригонометрии можно найти в математических рукописях древнего Египта, Вавилона и древнего Китая. 56-я задача из папируса Ринда (II тысячелетие до н.э.) предлагает найти наклон пирамиды, высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания - 360 локтей.

Руководствуясь данными о сохранившихся научных реликвиях, историки сделали вывод, что история возникновения тригонометрии связана с работами греческого астронома Гиппарха, который впервые задумался над поиском способов решения треугольников (сферических). Его труды относятся ко 2 веку до нашей эры.

Также одним из важнейших достижений тех времен является определение соотношения катетов и гипотенузы в прямоугольных треугольниках, которое позже получило название теоремы Пифагора.

История тригонометрии: Древняя Греция

Большая часть античных сочинений по математике не дошла до наших дней, и известна только по упоминаниям позднейших авторов и комментаторов, в первую очередь Паппа Александрийского (III век), Прокла (V век) и др. Среди сохранившихся трудов в первую очередь следует назвать «Начала» Евклида и отдельные книги Аристотеля, Архимеда, Аполллония и Диофанта. «Начала» Евклида содержат несколько теорем тригонометрического характера, Например, во второй книге теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов: В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключённый между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле. Также развитие тригонометрии связано с именем астронома Аристарха Самосского (III н.э.). В его трактате «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» ставилась задача об определении расстояний до небесных тел; эта задача требовала вычислений отношения сторон прямоугольного треугольника при известном значении одного из углов.

В течение всего периода развития античной науки главным полем для приложения результатов плоской тригонометрии у греков оставалась астрономия. Привлечения тригонометрии требовала, например, задача об определении параметров движения светила в пространстве. Эта задача впервые была сформулирована и решена Гипархом (середина II века до н.э.) Вместо современной функции синуса Гиппарх и другие древнегреческие математики обычно рассматривали зависимость длины хорды окружности от заданного центрального угла. Позднее астроном Клавдий Птолемей в «Альмагесте» дополнил результаты Гиппарха. Тринадцадь книг «Альмагеста» - самая значимая тригонометрическая работа всей античности. В частности, книга содержит обширные пятизначные таблицы хорд для острых и тупых углов. Единицами для измерения хорды были градусы, минуты и секунды. Один градус приравнивался к шестидесятой части радиуса. Также исследования древних греков продвинули развитие сферической тригонометрии. В частности, Евклид в своих «Началах» приводит теорему о закономерностях соотношений объемов шаров различного диаметра. Его труды в этой области стали своеобразным толчком в развитии еще и смежных областей знаний. Это, в частности, технология астрономических приборов, теория картографических проекций, система небесных координат и т. д.

История тригонометрии: Средние века

Значительных успехов достигли индийские средневековые астрономы. Гибель античной науки в IV веке обусловила перемещение центра развития математики в Индию. Именно тогда ученые заменили хорды синусами. Это открытие позволило ввести функции, касающиеся исследования сторон и углов прямоугольного треугольника. То есть, именно тогда тригонометрия начала обосабливаться от астрономии, превращаясь в раздел математики. Первые таблицы синусов появились в трудах Ариабхаты (V век), они была проведены через 3°. Важный вклад в развитие тригонометрии внес Брахмагупта (VII век), открывший несколько тригонометрических соотношений, в том числе и те, которые в современной записи приняли вид: В трудах другого выдающегося ученого, Бхаскары II (XII век), приводятся формулы для синуса и косинуса суммы и разности углов.

Первый специализированный трактат по тригонометрии появился в X—XI веке. Автором его был среднеазиатский учёный Аль-Бируни. В своем главном труде «Канон Мас‘уда» (книга III) средневековый автор еще более углубляется в тригонометрию, приводя таблицу синусов (с шагом 15") и таблицу тангенсов (с шагом 1°).

После перевода арабских трактатов на латынь (XII-XIII в) большинство идей индийских и персидских ученых были заимствованы европейской наукой. Первые упоминания о тригонометрии в Европе относятся к XII веку. По мнению исследователей, история тригонометрии в Европе связана с именем англичанина Ричарда Уоллингфордского, который стал автором сочинения «Четыре трактата о прямых и обращенных хордах». Именно его труд стал первой работой, которая целиком посвящена тригонометрии.

История тригонометрии: Новое время

В Новое время большинство ученых стало осознавать чрезвычайную важность тригонометрии не только в астрономии и астрологии, но и в других областях жизни. Это, в первую очередь, артиллерия, оптика и навигация в дальних морских походах. Поэтому во второй половине XVI века эта тема заинтересовала многих выдающихся людей того времени, в том числе Николая Коперника, Иоганна Кеплера, Франсуа Виета. Коперник отвел тригонометрии несколько глав своего трактата «О вращении небесных сфер» (1543).

Франсуа Виет в «Математическом каноне» (1579) дает обстоятельную и систематическую, хотя и бездоказательную, характеристику плоской и сферической тригонометрии. А Альбрехт Дюрер стал тем, благодаря кому на свет появилась синусоида. Придание тригонометрии современного содержания стало заслугой Леонарда Эйлера. Его трактат «Введение в анализ бесконечных» (1748) содержит определение термина «тригонометрические функции», которое эквивалентно современному, также он смог определить обратные тригонометрические функции. Эйлер рассматривал как допустимые отрицательные углы и углы, большие 360°, что позволило определить тригонометрические функции на всей числовой прямой. Именно он в своих работах впервые доказал, что косинус и тангенс тупого угла отрицательные, определил знаки для углов в разных координатных квадрантах. Разложение целых степеней косинуса и синуса тоже стало заслугой этого ученого.

Области применения тригонометрии

Тригонометрия не относится к прикладным наукам, в реальной повседневной жизни ее задачи редко применяются. Однако этот факт не снижает ее значимости. Очень важна, например, техника триангуляции, которая позволяет астрономам достаточно точно измерить расстояние до недалеких звезд и осуществлять контроль системам навигации спутников. Также тригонометрию применяют в навигации, теории музыки, акустике, оптике, анализе финансовых рынков, электронике, теории вероятностей, статистике, биологии, медицине (например, в расшифровке ультразвуковых исследований УЗИ и компьютерной томографии), фармацевтике, химии, теории чисел, сейсмологиии, метеорологии, океанологии, картографии, многих разделах физики, топографии и геодезии, архитектуре, фонетике, экономике, электронной технике, машиностроении, компьютерной графике, кристаллографиии и т. д. История тригонометрии и ее роль в изучении естественно-математических наук изучаются и по сей день. Возможно, в будущем областей ее применения станет еще больше.

2. Доказательства формул

Прежде чем, доказывать тригонометрические тождества, вспомним, что такое синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. .

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

А теперь докажем несколько формул тригонометрии с помощью геометрических методов.

2.1. Основное тригонометрическое тождество

Запишем для ∆АВС теорему Пифагора АВ 2 = АС 2 + ВС 2 или с 2 = a 2 + b 2 . По определению синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника a = c sin , b = c cos . Тогда получаем, что c 2 = c 2 sin 2  + c 2 cos 2 .

Сокращая на с 2 , получим основное тригонометрическое тождество

sin 2  + cos 2  = 1.

2.2. Формулы приведения.

Из определений синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника можно получить следующие формулы приведения: .

Остальные можно проиллюстрировать с помощью единичной окружности (приложение 1).

При опросе учеников 10А класса выяснилось: большая часть класса (57%) считает, что геометрическая иллюстрация формул приведения понятнее, и таким образом формулы запоминаются быстрее.

2.3. cos ( + ) = cos cos - sin  sin .

На единичной окружности отметим точки А и В. Обозначим  РОА = ,  АОВ = , тогда  РОВ =  + .

Таким образом, точка А имеет координаты А(cos ; sin ),

точка В имеет координаты В(cos ( + ); sin ( + )).

На единичной окружности отметим точку С так, чтобы  РОС = , т.е. точка С будет иметь координаты С(cos (- ); sin (- )), а  АОС =  + .

Так как ∆РОВ = ∆АОС (ОА = ОВ = ОС = ОР = 1,  РОВ =  АОС), то АС = ВР, значит АС 2 = ВР 2 .

Используя формулу расстояния между двумя точками, получим

Приравнивая эти два выражения и раскрывая скобки, получим

Используя основное тригонометрическое тождество, получим

Формула доказана.

2.4. sin ( + ) = sin  cos  + cos  sin .

Эту формулу можно доказать несколькими способами. Мы рассмотрим три из них.

а) 1 способ .

Угол А лучом АЕ разделим произвольным образом на два угла  и . На стороне угла  отметим точку В и на сторону угла  опустим перпендикуляр ВН. Также из точки В опустим перпендикуляр ВЕ на луч АЕ. Из точки Е проведем перпендикуляр ЕМ и перпендикуляр EF. Треугольники АОН и ВОЕ подобны (АОН = ВОЕ - вертикальные,  ВЕО =  АНО = 90), значит,  НАО =  ЕВО = .

Из прямоугольного треугольника АВН следует, что,

Из прямоугольного треугольника ВМЕ получим ВМ = ВЕ  cos  (2). Отрезок ВЕ выразим из прямоугольного треугольника АВЕ и получим, что ВЕ = АВ  sin  (3). Подставив выражение (3) в выражение (2), делаем вывод, что ВМ = АВ  sin   cos  (4).

Из прямоугольного треугольника AEF получим EF = МН = АЕ  sin  (5). Отрезок АЕ выразим из прямоугольного треугольника АВЕ и получим, что АЕ = AB  cos  (6). Подставив выражение (6) в выражение (5), делаем вывод, что МН = АВ  cos   sin  (7).

Таким образом, подставляя выражения (4) и (7) в выражение (1), получаем, что ,

Формула доказана.

б) 2 способ.

В треугольнике АВС проведем высоту ВН. Пусть, АВ = a, ВС = b, АН = h, ABH = , CBH = .

Разделим данное выражение на, . Из треугольника АВН следует, что отношение равно а из треугольника СВН следует, что отношение равно. Значит,

Формула доказана.

в) 3 способ .

В треугольнике АВС проведем высоту ВН и введем обозначения АВ = с, ВС = a, AC = b,  A = ,  C = , тогда B = 180 - ( + ).

Запишем для данного треугольника теорему синусов. Учитывая, что, получим, .

Из прямоугольных треугольников АВН и СВН следует, что и.

Тогда или

Формула доказана.

Учеников 10а класса попросили оценить все 3 способа доказательства этой формулы. Результаты: 1 способ - 0% (его никто не выбрал), 2 способ - 18 чел. (69%), 3 способ - 8 чел. (31%). Т.е. учащимся 10А класса второй способ доказательства формулы показался наиболее простым.

2.5. sin ( - ) = sin  cos  - cos  sin .

В прямоугольном треугольнике АВС из вершины острого угла А проведем отрезок AD. Обозначим АС = b, ВС = а, АВ = с, САВ = ,  CAD = , тогда (из  АВС), (из  ADC).

Умножим данное равенство на.

Формула доказана.

2.6. .

Пусть, АОМ = , АОР = , тогда МОР =  - ,.

Скалярное произведение векторов равно.

Так как, то (1).

С другой стороны, скалярное произведение равно, где - координаты вектора, а - координаты вектора. Зная координаты векторов, получим (2).

Сравнивая выражения (1) и (2), получаем, что

Формула доказана.

2.7. sin 2 = 2 sincos.

В прямоугольном треугольнике АВС проведем медиану СМ. Введем обозначения АВ = c, ВС = a, АС = b, САВ = , тогда СМ = МВ = , а СМВ = 2.

Площадь треугольника СМВ равна или.

Площадь треугольника АВС равна.

Так как СМ медиана треугольника АВС, то, т.е.

В треугольнике АВС отношение равно. Таким образом, окончательно получим. Формула доказана.

2.8. cos 2 = 2cos 2  - 1.

Прежде чем доказать формулу косинуса двойного угла мы выясним, чемуравна биссектриса в треугольнике (приложение 2).

Теперь, используя данное равенство, докажем саму формулу.

В прямоугольном треугольнике АВС проведём биссектрису AD из вершины острого угла. Введем обозначения: AC = b, AB = c, CAD = BAD = .

Исходя из формулы полученной ранее, биссектриса AD равна.

В прямоугольном треугольнике ACD гипотенуза AD равна. Приравнивая эти два выражения, получим. Преобразуем данное выражение:

В треугольнике АВС отношение равно, тогда

или. Формула доказана.

2.9. Формулы суммы синусов и косинусов.

В прямоугольной системе координат из начала проведем два вектора и длиной 1.

Пусть, угол между осью ОХ и вектором равен , а угол между осью ОХ и вектором равен . Для определенности будем считать, что векторы располагаются так, как показано на рисунке. Складывая векторы по правилу параллелограмма, получим вектор. Так как, все эти векторы являются радиус-векторами точек А, В и С, то координаты этих векторов будут равны,

По построению ОАСВ параллелограмм, но ОА = ОВ = 1, следовательно, ОАСВ - ромб, ОС - биссектриса  ВОА, т.е. .

В треугольнике ВОС проведем высоту ВН, тогда,значит, или (т.к. ОВ = 1) (2).

Угол между осью ОХ и вектором равен. Таким образом, координаты вектора Подставляя выражение (2) в данные координаты, получим (3).

Сравнивая выражения (1) и (3), приходим к выводу, что

Формулы доказаны.

2.10.

а) геометрический способ

На единичной окружности отметим точку А, угол между осью ОХ и радиусом ОА обозначим . Из точки А проведем перпендикуляр к оси ОХ. Тогда АВ = sin , OB = cos .

Соединим точки А и С(-1; 0), тогда ВС = ОС + ОВ = 1 + cos .

 АОВ (центральный) и  ВСА (вписанный) опираются на одну и туже дугу ( АР), значит ВСА = .

Формула доказана.

б) алгебраический способ.

Мы попросили учеников 10А класса оценить эти два способа. За геометрический способ высказалось - 16 чел. (62%), за алгебраический способ - 10 чел. (38%). Таким образом, геометрический способ оказался в данном классе предпочтительней.

Заключение

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы.

В ходе выполнения этой работы мы попытались применить геометрические методы для доказательства тригонометрических формул в алгебре. Геометрические факты, которые мы использовали при выполнении данной работы, мы вынесли в таблицу (приложение 3). В ходе опроса учеников 10 класса выяснилось, что некоторые формулы предпочтительнее доказывать геометрически.

Также было доказано 9 формул тригонометрии, причем одна из них несколькими способами, показана геометрическая иллюстрация формул приведения. Я считаю, что цель работы достигнута.

Литература

Алгебра и начала математического анализа. 10 - 11 классы. Учеб. Для общеобразовательных учреждений: базовый уровень/Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др. - М.: Просвещение, 2012

Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10 - 11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1991

И.М. Гельфанд, С.М. Львовский, А.Л. Тоом. Тригонометрия. - М.: МЦНМРО, 2002

Приложение 1

Приложение 2

Пусть, в треугольнике АВС проведена биссектриса BL. Обозначим BC = a, AB = c, BL = m,  ABL =  CBL = . Площадь треугольника АВС равна, площадь треугольника ABL равна, площадь треугольника CBL равна. Но площадь треугольника АВС равна сумме площадей данных треугольников, т.е. .

Выполним преобразования: ,

Таким образом, биссектриса в треугольнике равна.

Приложение 3

Проанализируем, какие геометрические факты, были использованы при доказательстве формул чаще всего.

Геометрический факт	Кол-во
Определение тригонометрических функций
Площадь треугольника
Координаты вектора
Вписанный и центральный углы
Скалярное произведение векторов
Теорема Пифагора
Теорема синусов
Равенство треугольников
Подобие треугольников
Формула расстояния между двумя точками
Правило сложение векторов
Свойства ромба

Таким образом, из таблицы видно, что наиболее часто использовались определения тригонометрических функций и формула площади треугольника (

Это последний и самый главный урок, необходимый для решения задач B11. Мы уже знаем, как переводить углы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла »), а также умеем определять знак тригонометрической функции, ориентируясь по координатным четвертям (см. урок «Знаки тригонометрических функций »).

Дело осталось за малым: вычислить значение самой функции - то самое число, которое записывается в ответ. Здесь на помощь приходит основное тригонометрическое тождество.

Основное тригонометрическое тождество. Для любого угла α верно утверждение:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Эта формула связывает синус и косинус одного угла. Теперь, зная синус, мы легко найдем косинус - и наоборот. Достаточно извлечь квадратный корень:

Обратите внимание на знак «±» перед корнями. Дело в том, что из основного тригонометрического тождества непонятно, каким был исходный синус и косинус: положительным или отрицательным. Ведь возведение в квадрат - четная функция, которая «сжигает» все минусы (если они были).

Именно поэтому во всех задачах B11, которые встречаются в ЕГЭ по математике, обязательно есть дополнительные условия, которые помогают избавиться от неопределенности со знаками. Обычно это указание на координатную четверть, по которой можно определить знак.

Внимательный читатель наверняка спросит: «А как быть с тангенсом и котангенсом?» Напрямую вычислить эти функции из приведенных выше формул нельзя. Однако существуют важные следствия из основного тригонометрического тождества, которые уже содержат тангенсы и котангенсы. А именно:

Важное следствие: для любого угла α можно переписать основное тригонометрическое тождество следующим образом:

Эти уравнения легко выводятся из основного тождества - достаточно разделить обе стороны на cos 2 α (для получения тангенса) или на sin 2 α (для котангенса).

Рассмотрим все это на конкретных примерах. Ниже приведены настоящие задачи B11, которые взяты из пробных вариантов ЕГЭ по математике 2012.

Нам известен косинус, но неизвестен синус. Основное тригонометрическое тождество (в «чистом» виде) связывает как раз эти функции, поэтому будем работать с ним. Имеем:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

Для решения задачи осталось найти знак синуса. Поскольку угол α ∈ (π /2; π ), то в градусной мере это записывается так: α ∈ (90°; 180°).

Следовательно, угол α лежит во II координатной четверти - все синусы там положительны. Поэтому sin α = 0,1.

Итак, нам известен синус, а надо найти косинус. Обе эти функции есть в основном тригонометрическом тождестве. Подставляем:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Осталось разобраться со знаком перед дробью. Что выбрать: плюс или минус? По условию, угол α принадлежит промежутку (π 3π /2). Переведем углы из радианной меры в градусную - получим: α ∈ (180°; 270°).

Очевидно, это III координатная четверть, где все косинусы отрицательны. Поэтому cos α = −0,5.

Задача. Найдите tg α , если известно следующее:

Тангенс и косинус связаны уравнением, следующим из основного тригонометрического тождества:

Получаем: tg α = ±3. Знак тангенса определяем по углу α . Известно, что α ∈ (3π /2; 2π ). Переведем углы из радианной меры в градусную - получим α ∈ (270°; 360°).

Очевидно, это IV координатная четверть, где все тангенсы отрицательны. Поэтому tg α = −3.

Задача. Найдите cos α , если известно следующее:

Снова известен синус и неизвестен косинус. Запишем основное тригонометрическое тождество:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Знак определяем по углу. Имеем: α ∈ (3π /2; 2π ). Переведем углы из градусной меры в радианную: α ∈ (270°; 360°) - это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Следовательно, cos α = 0,6.

Задача. Найдите sin α , если известно следующее:

Запишем формулу, которая следует из основного тригонометрического тождества и напрямую связывает синус и котангенс:

Отсюда получаем, что sin 2 α = 1/25, т.е. sin α = ±1/5 = ±0,2. Известно, что угол α ∈ (0; π /2). В градусной мере это записывается так: α ∈ (0°; 90°) - I координатная четверть.

Итак, угол находится в I координатной четверти - все тригонометрические функции там положительны, поэтому sin α = 0,2.

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} , а отношение \frac{x}{y}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов \alpha , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .

Например: tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} является справедливой для углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2}+\pi z , а ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — для угла \alpha , отличного от \pi z , z — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Данное тождество справедливо только для таких углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2} z . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg \alpha = \frac{y}{x} , а ctg \alpha=\frac{x}{y} . Отсюда следует, что tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}=1 . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

tg^{2} \alpha + 1=\frac{1}{\cos^{2} \alpha} — сумма квадрата тангенса угла \alpha и 1 , равна обратному квадрату косинуса этого угла. Данное тождество справедливо для всех \alpha , отличных от \frac{\pi}{2}+ \pi z .

1+ctg^{2} \alpha=\frac{1}{\sin^{2}\alpha} — сумма 1 и квадрат котангенса угла \alpha , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \alpha , отличного от \pi z .

Примеры с решениями задач на использование тригонометрических тождеств

Пример 1

Найдите \sin \alpha и tg \alpha , если \cos \alpha=-\frac12 и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi ;

Показать решение

Решение

Функции \sin \alpha и \cos \alpha связывает формула \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 . Подставив в эту формулу \cos \alpha = -\frac12 , получим:

\sin^{2}\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Это уравнение имеет 2 решения:

\sin \alpha = \pm \sqrt{1-\frac14} = \pm \frac{\sqrt 3}{2}

По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти синус положителен, поэтому \sin \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} .

Для того, чтобы найти tg \alpha , воспользуемся формулой tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

tg \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} : \frac12 = \sqrt 3

Пример 2

Найдите \cos \alpha и ctg \alpha , если и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi .

Показать решение

Решение

Подставив в формулу \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 данное по условию число \sin \alpha=\frac{\sqrt3}{2} , получаем \left (\frac{\sqrt3}{2}\right)^{2} + \cos^{2} \alpha = 1 . Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\frac34}=\pm\sqrt\frac14 .

По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12 .

Для того, чтобы найти ctg \alpha , воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} . Соответствующие величины нам известны.

ctg \alpha = -\frac12: \frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{\sqrt 3} .

Пример 2. Доказать тождество

Это тождество мы будем доказывать путем преобразования выражения, стоящего в правой части.

Способ 1.

Поэтому

Способ 2.

Прежде всего заметим, что ctg α =/= 0; в противном случае не имело бы смысла выражение tg α = 1 / ctg α . Но если ctg α =/= 0, то числитель и знаменатель подкоренного выражения можно умножить на ctg α , не изменяя значения дроби. Следовательно,

Используя тождества tg α ctg α = 1 и 1+ ctg 2 α = cosec 2 α , получаем

Поэтому что и требовалось доказать.

Замечание. Следует обратить внимание на то, что левая часть доказанного тождества (sin α ) определена при всех значениях α , а правая - лишь при α =/= π / 2 n.

Поэтому только при всех допустимых значениях α Вообще же эти выражения не эквивалентны друг другу.

Пример 3. Доказать тождество

sin (3 / 2 π + α ) + cos (π - α ) = cos (2π + α ) - 3sin ( π / 2 - α )

Преобразуем левую и правую части этого тождества, используя формулы приведения:

sin (3 / 2 π + α ) + cos (π - α ) = - cos α - cos α = - 2 cos α ;

cos (2π + α ) - 3sin ( π / 2 - α ) = cos α - 3 cos α = - 2 cos α .

Итак, выражения, стоящие в обеих частях данного тождества, приведены к одному и тому же виду. Тем самым тождество доказано.

Пример 4. Доказать тождество

sin 4 α + cos 4 α - 1 = - 2 sin 2 α cos 2 α .

Покажем, что разность между левой и правой частями. данного тождества равна нулю.

(sin 4 α + cos 4 α - 1) - (- 2 sin 2 α cos 2 α ) = (sin 4 α + 2sin 2 α cos 2 α + cos 4 α ) - 1 =

= (sin 2 α + cos 2 α ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0.

Тем самым тождество доказано.

Пример 5. Доказать тождество

Это тождество можно рассматривать как пропорцию. Но чтобы доказать справедливость пропорции a / b = c / d , достаточно показать, что произведение ее крайних членов ad равно произведению ее средних членов bc . Так мы поступим и в данном случае. Покажем, что (1 - sin α ) (1+ sin α ) = cos α cos α .

Действительно, (1 - sin α ) (1 + sin α ) = 1 -sin 2 α = cos 2 α .

Примеры тождеств:

\(2(x+5)=2x+10\);
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\);
\(1-\sin^2⁡x=\cos^2⁡x\).

А вот выражение \(\frac{x^2}{x}=x\) является тождеством только при условии \(x≠0\) (иначе левая часть не существует).

Как доказывать тождество?

Рецепт до одури прост:

Чтобы доказать тождество нужно доказать, что его правая и левая части равны, т.е. свести его к виду «выражение» = «такое же выражение».

Например,

\(5=5\);
\(\sin^2⁡x=\sin^2⁡x\);
\(\cos⁡x-4=\cos⁡x-4\).

Для того, чтоб это сделать можно:

1. Преобразовывать только правую или только левую часть.
2. Преобразовывать обе части одновременно.
3. Использовать любые допустимые математические преобразования (например, приводить подобные; раскрывать скобки; переносить слагаемые из одной части в другую, меняя знак; умножать или делить левую и правую часть на одно и то же число или выражение, не равное нулю и т.д.).
4. Использовать любые математические формулы.

Именно четвертый пункт при доказательстве тождеств используется чаще всего, поэтому все нужно знать, помнить и уметь использовать.

Пример . Доказать тригонометрическое тождество \(\sin⁡2x=2\sin⁡x\cdot \cos{x}\)
Решение :

Пример . Доказать, что выражение \(\frac {\cos^2{t}}{1-\sin⁡{t}}\) \(-\sin{⁡t}=1\) является тождеством.
Решение :

Пример . Доказать тригонометрическое тождество \(1-tg^2 t=\)\(\frac{\cos⁡2t}{\cos^2⁡t}\)
Решение :

\(1-tg^2 t=\)\(\frac{\cos⁡2t}{\cos^2⁡t}\)		Здесь будем преобразовывать только правую часть, стремясь свести ее к левой. Левую же оставляем неизменной. Вспоминаем .
\(1-tg^2 t=\)		Теперь сделаем почленное деление в дроби (т.е. применим в обратную сторону): \(\frac{a+c}{b}\) \(=\) \(\frac{a}{b}\) \(+\)\(\frac{c}{b}\)
\(1-tg^2 t=\)\(\frac{\cos^2⁡t}{\cos^2⁡t}\) \(-\)\(\frac{\sin^2⁡t}{\cos^2⁡t}\)		Первую дробь правой части сократим, а ко второй применим : \(\frac{a^n}{b^n}\) \(=\)\((\frac{a}{b})^n\) .
\(1-tg^2 t=1-\)\((\frac{\sin⁡t}{\cos⁡t})^2\)		Ну, а синус деленный на косинус равен того же угла: \(\frac{\sin⁡x}{\cos⁡x}\) \(=tg x\)
\(1-tg^2 t=1-tg^2 t\)

Пример . Доказать тригонометрическое тождество \(=ctg(π+t)-1\)
Решение :

\(\frac{\cos⁡2t}{\sin⁡t\cdot\cos⁡t+\sin^2⁡t}\) \(=ctg(π+t)-1\)		Здесь будем преобразовывать обе части: - в левой: преобразуем \(\cos⁡2t\) по формуле двойного угла; - а в правой \(ctg(π+t)\) по .
\(\frac{\cos^2⁡t-\sin^2⁡t}{\sin⁡t\cdot\cos⁡t+\sin^2⁡t}\) \(=ctg\:t-1\)		Теперь работаем только с левой частью. В числителе воспользуемся , в знаменателе за скобку синус.
\(\frac{(\cos⁡t-\sin{t})(\cos⁡t+\sin{t})}{\sin⁡t(\cos⁡t+\sin⁡{t})}\) \(=ctg\:t-1\)		Сократим дробь на \(\cos{⁡t}+\sin{⁡t}\).
\(\frac{\cos⁡t-\sin{t}}{\sin⁡t}\) \(=ctg\:t-1\)		Почленно разделим дробь, превратив ее в две отдельные дроби.
\(\frac{\cos⁡t}{\sin{t}}-\frac{\sin{t}}{\sin{t}}\) \(=ctg\:t-1\)		Первая дробь это , а вторая равна единице.
\(ctg\:t-1=ctg\:t-1\)		Левая часть равна правой, тождество доказано.

Как видите, все довольно несложно, но надо знать все формулы и свойства.

Как доказать основное тригонометрическое тождество

Два простых способа вывести формулу \(\sin^2x+\cos^2x=1\). Нужно знать только теорему Пифагора и определение синуса и косинуса.

Ответы на часто задаваемые вопросы:

Вопрос: Как определить, что в тождестве надо преобразовывать – левую часть, правую или обе вместе?
Ответ: Нет никакой разницы – в любом случае вы получите один и тот же результат. Например, в третьем примере мы легко могли бы получить из левой части \(1-tg^2 t\) правую \(\frac{cos⁡2t}{cos^2⁡t}\) (попробуйте сделать это сами). Или преобразовывать обе, с тем чтоб они «встретились посередине», где-то в районе \(\frac{\cos^2⁡t-\sin^2⁡t}{\cos^2⁡t}\) \(=\)\(\frac{\cos^2⁡t-\sin^2⁡t}{\cos^2⁡t}\) . Поэтому вы можете доказывать любым удобным вам способом. Какую «тропинку» видите – по той и идите. Главное только – преобразовывайте «законно», то есть понимайте на основании какого свойства, правила или формулы вы делаете очередное преобразование.